概念

　　(1)最大公约数：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

　　(2)最小公倍数：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公约数中最小的一个大于零的公倍数，称为这几个自然数的最小公倍数。

　　联创世华专家提醒：这类概念的应用一般在星期日期、余数相关等问题中，考生不但要熟练求最大公约数、最小公倍数的方法，还要学会在特定的情境中灵活运用。

　　例题讲解

　　例题1：有两个两位数，这两个两位数的最大公约数与最小公倍数的和是91，最小公倍数是最大公约数的12倍，求这较大的数是多少?

　　A.42 B.38

　　C.36 D.28

　　【答案】D。

　　【解析】这道例题非常清晰的点明了主旨，就是最大公约数与最小公倍数问题，那么我们可以根据定义来解决。这两个数的最大公约数是91÷(12+1)=7，最小公倍数是7×12=84，故两数应为21和28。

　　例题2：三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段?

　　A.8 B.9

　　C.10 D.11

　　【答案】C。

　　【解析】这道例题中隐含了最大公约数的关系。“截成相等的小段”，即为求三数的公约数，“最少可截成多少段”，即为求最大公约数。每小段的长度是120、180、300的约数，也是120、180和300的公约数。120、180和300的最大公约数是60，所以每小段的长度最大是 60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
例题3：一个小于200的数，除以24或36都有余数16，则这个数是( )

　　A.52 B.78

　　C.88 D.156

　　【答案】C。

　　【解析】这道例题中隐含了最小公倍数的关系。“除以24或36都有余数16”，说明此数减去16，即为24和36的公倍数。24和36的最小公倍数为72，则此数应为72+16=88。

　　特点小结

　　1.在互质的几个数中，1是这些互质的数的公约数。

　　2.约数：如果数A能被数B整除(B不为0)，A就叫做B的倍数，B就叫做A的约数(或因数)，倍数和约数是相互依存的。

　　公约数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数。

　　一个数的约数的个数是有限的，其中最小的是1,最大的是它本身。

　　例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数

　　3.几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

　　一个数的倍数是无限的，几个数的公倍数也是无限的。

　　利用分解质因数的方法可以求出两个数的最小公倍数。

　　例：求6和8的最小公倍数。

　　6=2×3，8=2×4

　　所以6和8的最小公倍数是：2×3×4=24

　　下列各组数的最小公倍数和最大公约数分别是多少?

　　(1)较大数是较小数倍数的。

　　最小公倍数：较大数

　　最大公约数：较小数

　　(2)两个数是互质数的。

　　最小公倍数：两个数乘积

　　最大公约数：1

　　(3)两个数既不互质，较大数又不是较小数倍数的。

　　最小公倍数：两数所有独有质因数及公有质因数的乘积

　　最大公约数：所有的公有质因数的乘积

　　1. 甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号?(2008中央)

　　A.10月18日 B.10月14日

　　C.11月18日 D.11月14日

　　2. 有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是()。(2006山东)

　　A.216 B.108

　　C.314 D.348

　　【答案】

　　1. D。2. C。

　　1. D.【解析】甲每隔5天去一次，意思是每6天去一次，依此类推，也就转化为求6，12，18，30的最小公倍数，即180;也就是在5月18的基础上往后180天，再考虑5,7,8,10四个月是大月，可知答案为D。

　　2. C.【解析】自然数A是5，6，7的公倍数，5，6，7的最小公倍数是210，而A小于400，所以A=210，B=A/5-1=41，同理得出C=34，D=29，210+41+34+29=314。