数学运算中的排列组合问题

 排列组合问题作为数学运算中相对独立的一块，在公务员考试中的出场率颇高，题量一般在一到两道，近年国考这部分题型的难度逐渐在加大，解题方法也越来越多样化，所以在掌握了基本方法原理的基础上，还要求我们熟悉主要解题思想。

【基本原理】

   加法原理：完成一件事,有N种不同的途径，而每种途径又有多种可能方法。那么，完成这件事就需要把这些种可能的做法加起来；

   乘法原理： 完成一件事需要n个步骤，每一步分别有m1，m2，…，mn种做法。那么完成这件事就需要:：m1×m2×…×mn种不同方法。

【排列与组合】

     排列：从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

     组合：从n个不同元素种取出m（）个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合

【排列和组合的区别】

 组合是从n个不同的元素种选出m个元素,有多少种不同的选法。只是把m个元素选出来,而不考虑选出来的这些元素的顺序；而排列不光要选出来,还要把选出来的元素按顺序排上,也就是要考虑选出元素的顺序。所以从这个角度上说,组合数一定不大于排列数。

【特殊解题方法】

 解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法:插空法，插板法。以下逐个说明:

 (一).插空法

 这类问题一般具有以下特点：题目中有相对位置不变的元素,不妨称之为固定元素,也有相对位置有变化的元素,称之为活动元素,而要求我们做的就是把这些活动元素插到固定元素形成的空中。举例说明:

 例题1 一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？                             (2008国家行测)

A.20    B.12    C.6    D.4

     解法1：这里的“固定元素”有3个，“活动元素”有两个，但需要注意的是,活动元素本身的顺序问题，在此题中：

 1).当两个新节目挨着的时候：把这两个挨着的新节目看成一个(相当于把它们捆在一起,注意:捆在一起的这两个节目本身也有顺序)放到“固定元素”形成的空中，有:C41×2=8 种方法。

  2).当两个节目不挨着的时候：此时变成一个排列问题,即从四个空中任意选出两个按顺序放两个不同的节目,有：P42=12种方法。

 综上所述，共有12+8=20种。

 解法2：分部解决。1）可以先插入一个节目，有4种办法；

                   2）然后再插入另一个节目，这时第一次插入的节目也变成“固定元素”故共有5个空可供选择；

   应用乘法原理：4×5=20种

例题2. 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

 A.54          B.64         C.57           D.37

解法一：列表解题，第四个数=第一个数＋第二个数。

台阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

走法 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37

解法二：插空法解题:考虑走3级台阶的次数：

1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；

2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；

3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：

 (a)两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有C61=6种走法；

 (b)两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有C62=15种走法。

4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有C51+C52=15种走法；

6）有5次（不可能）

故总共有：1+6+15+15=37种。

(二). 插板法:

 一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。

举例说明:

例题1.  把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?

     解析: 此题的想法即是插板思想:在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有: C1917=C192=171 种。

 Eg2。有10片药，每天至少吃1粒，直到吃完，共有多少种不同吃法？

  解法1：1天吃完：有C90=1种；

        2天吃完：有C91=9种；

        ……

        10天吃完：有C99=1种；

故共有：C90+C91+…+C99=（1+1）9=512种。

  解法2：10台电脑内部9个空，每个孔都可以选择插板或者不插板，即每个孔有两种选择，共有9个空，共有29=512种。

这里只讨论了排列组合中相对比较特殊的两种方法，至于其它问题可参见中公网的其它书籍，这里不再赘述。

【排列组合在其他题型中的应用】                                                  

例题．学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？

 A.52          B.36          C.28           D.12

解法一：本题实际上是想把1152分解成两个数的积，则1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。

解法二：（用排列组合知识求解）

由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。

 具体地： 1）当2个3在一起的时候，有8种分配方法（从后面有0个2一直到7个2）； 2）当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。故共有8+4=12种。

解法三：若1152=27×32，那么1152的所有乘积为1152因数的个数为（7+1）×（2+1）=24个，每两个一组，故共有24÷2=12组。

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